黄冈师范学院2023年专升本《数学与应用数学》专业综合教学大纲

课程一：《高等代数》考试大纲（总分100）一、参考教材北京大学数学系几何与代数教研室编，高等代数，高等教育出版社，2003年7月第3版（或2023年8月第4版）。

二、考试的内容及基本要求

第一章 多项式考试内容：1、数集、数域、多项式的概念、多项式的代数性质；2、整除的概念、整除性几个常用性质、不可约多项式；3、最大公因式的存在性及求法、互素的概念及推广、不可约多项式及其性质；4、重因式、单因式、微商、重因式的判别及求法、去掉因式重数的方法、因式分解唯一性定理；5、多项式的根、多项式的根的个数、复数域上多项式的分解、实数域上多项式的分解。基本要求：1、掌握一元多项式概念、运算及多项乘积与次数的关系；2、正确理解多项式整除的概念及性质，正确理解带余除法；3、掌握最大公因式的概念、性质、求法以及多项式互素的概念和性质；4、正确理解不可约多项式的概念，掌握多项式因式分解的唯一性定理；5、正确理解多项式重因式的概念，掌握多项式有无重因式的判别方法；6、掌握多项式函数以及多项式根的概念；7、掌握复数域和实数域上多项式的因式分解定理；8、掌握有理数域上的多项式的有理根的求法。

第二章 行列式考试内容：1、n级排列、逆序数、偶(奇)排列、对换、排列的奇偶性；2、一般行列式的定义、n级行列式的性质；3、行列式的变换、行列式计算；4、行列式按一行展开的性质、展开性质的应用；5、Cramer法则、Laplace 定理、行列式乘法法则；基本要求：1、掌握n阶行列式的概念与性质；2、学会用行列式的性质熟练地计算行列式；3、掌握克莱姆法则及拉普拉斯定理。

第三章 线性方程组考试内容：1、消元法、方程组的初等变换、方程组的有解判别；2、n维向量概念、n维向量的运算、线性组合、向量组等价、线性相关(无关)、线性相关性的判定、极大线性无关组及向量组的秩；3、矩阵秩的求法；4、线性方程组有解判定定理、线性方程组解的求法、齐次线性方程组解的结构、一般线性方程组解的结构、线性方程组解的几何意义；5、两个多项式的结式、二元高次方程组的解法。基本要求：1、理解消元法与矩阵初等变换的关系，能熟练地运用消元法求解一般的线性方程组；2、正确理解和掌握矩阵的秩的概念，能熟练地运用矩阵的初等变换求矩阵的秩；3、掌握线性方程组有解的判定定理及其应用；4、能熟练地求齐次线性方程组的基础解系；5、掌握一般线性方程组在有解的情况下解的结构；6、掌握n个未知量n个方程的齐次线性方程组存在非零解的充要条件。

第四章 矩阵考试内容：1、矩阵的概念、矩阵的运算、矩阵乘积的行列式与秩；2、可逆矩阵、可逆矩阵的性质、可逆矩阵的两个应用；3、矩阵的分块、分块矩阵的乘积、分块矩阵的应用；4、逆矩阵的求法、分块乘法的初等变换。基本要求：1、掌握矩阵的加法、数乘、乘法、转置及其运算规律，并能熟练地运用；2、掌握矩阵可逆的概念及其判定方法；3、熟悉和掌握矩阵乘积的行列式及其秩的定理；4、掌握初等矩阵的概念、初等矩阵与初等变换的关系以及用初等变换求逆矩阵的方法。

第五章 二次型考试内容：1、二次型的矩阵表示、二次型及二次型矩阵、替换前后二次型矩阵的关系、二次型的标准形的求法；2、正定二次型及其性质、正定性的判别、与正定二次型平行的理论。基本要求：1、掌握二次型的概念及二次型与对称矩阵一一对应关系；2、掌握化二次型为标准形的方法及其理论依据；3、掌握矩阵合同的概念及其性质；4、掌握正定二次型的概念和判别法。

第六章 线性空间考试内容：1、集合、映射、线性空间的定义及简单性质、线性相关性及几个结论、维数、基与坐标；2、基变换与坐标变换、关于过渡矩阵的求法；3、线性子空间及其判别、生成子空间；4、子空间的交与和定义、维数公式、子空间交与和的求法、子空间的直和。基本要求：1、掌握线性空间概念及简单性质，了解公理化的思想方法；2、正确理解和掌握线性空间的子空间的概念和判别方法、子空间交与和的概念，掌握和是直和的判别方法；3、正确理解和掌握线性空间中的向量的线性相关性的概念和性质；4、掌握有限维线性空间的基与维数的概念及求法；5、掌握线性空间中向量坐标的定义，基变换与坐标变换的公式，过渡矩阵的概念、性质及求法。

第七章 线性变换考试内容：1、线性变换定义、线性变换的运算规律、线性变换多项式；2、线性变换矩阵在一组基下的矩阵、线性变换与其在一组基下矩阵的关系、坐标变换公式、线性变换在不同基下的矩阵、线性变换在不同基下的矩阵的关系、相似矩阵的性质；3、特征值与特征向量的定义、特征值与特征向量的求法、特征多项式的性质；4、某组基下的矩阵为对角阵的线性变换、相似对角阵及所对应基的求法、值域与核的定义及其性质、值域与核的求法。基本要求：1、正确理解线性变换的概念、掌握它的运算及简单性质；2、掌握线性变换与矩阵的一一对应关系；3、正确理解和掌握矩阵的相似，特征值特征向量等重要概念及求法，掌握矩阵对角化的条件及其方法；4、掌握线性变换的值域与核的概念及其求法。

第九章 欧氏空间考试内容：定义与基本性质、度量矩阵、标准正交基、标准正交基的存在性及求法、标准正交基到标准正交基的过渡矩阵。基本要求：1、正确理解内积、欧氏空间、长度、夹角、距离等概念；2、掌握标准正交基的求法；3、理解欧氏空间同构的概念及同构的充分必要条件；4、掌握正交变换与正交矩阵等概念、性质及关系。

课程二：《数学分析》考试大纲（总分100）一、参考教材华东师范大学数学系编，数学分析（上、下册），高等教育出版社，2001年6月第3版（或2010年7月第4版）。

二、考试的内容及基本要求

第1章 实数集与函数考试内容：1、实数分类、实数的性质(对四则运算的封闭性、有序性、阿基米德性、稠密性)、绝对值与不等式；2、区间、邻域、数集、确界原理；3、函数表示法、函数四则运算、复合函数、反函数、初等函数；4、有界函数、单调函数、奇函数、偶函数、周期函数。基本要求：1、熟练掌握实数域及性质；2、掌握几个常用的不等式；3、熟练掌握邻域、上确界、下确界以及确界原理；4、牢固掌握函数的复合法则、基本初等函数、初等函数及某些特性（单调性、周期性、奇偶性、有界性等）。

第2章 数列极限考试内容：1、数列极限的“ ”定义及其几何意义、无穷小数列；2、收敛数列的唯一性、有界性、保号性、不等式性、迫敛性、四则运算法则；3、单调有界定理、柯西收敛准则。基本要求：1、熟练掌握数列极限“ ”定义；2、掌握收敛数列的若干性质；3、掌握数列收敛的条件（单调有界原理、迫敛法则、柯西准则等）。

第3章 函数极限考试内容：1、函数极限概念的“ ”、“ ”定义，单侧极限及其与极限的关系；2、函数极限的唯一性、局部有界性、局部保号性、不等式性、迫敛性、四则运算法则；3、函数极限的单调有界定理、归结原则、柯西准则；4、掌握两个重要的极限；5、无穷小量和无穷大量的比较。基本要求：1、熟练掌握使用函数极限“ ”“ ”的概念；2、掌握函数极限的若干性质；3、掌握函数极限存在的条件（归结原则，柯西准则，左、右极限、单调有界等）；4、熟练应用两个两个重要的极限；5、能掌握无穷小（大）的定义、性质、阶的比较。

第4章 函数的连续性考试内容：1、函数在一点连续(左、右连续)及间断点的概念、间断点的分类；2、连续函数的局部有界性、局部保号性，连续函数的四则运算及复合函数的连续性；3、闭区间上连续函数的最值性、介值性、根的存在性定理，反函数的连续性、初等函数的连续性、一致连续性。基本要求：1、熟练掌握 在 点连续的定义和等价定义；2、熟练掌握间断点及其分类；3、熟练掌握 在一点连续性质及在区间上连续性质；4、熟练掌握初等函数的连续性。

第5章 导数和微分

考试内容：1、平面曲线切线与瞬时速问题度、导数定义、单侧导数、导数的几何意义、导函数；2、导数的四则运算、反函数的导数、复合函数的导数；3、微分的概念、微分的四则运算、一阶微分形式不变性、近似计算与误差估计；4、高阶导数与高阶微分、参数方程和隐函数求导法。基本要求：1、熟练掌握导数的定义，几何、物理意义；2、掌握并熟练应用求导法则、求导公式；3、会求各类函数的导数（复合、参量、隐函数、幂指函数、高阶导数（莱布尼兹公式）；4、掌握微分的概念，并会用微分进行近似计算；5、掌握一元函数连续、可导、可微之间的关系。

第6章 微分中值定理及应用考试内容：1、费马定理、罗尔中值定理、拉格朗日中值定理、柯西中值定理；2、 型不定式极限、 型不定式极限、其它类型不定式极限；3、函数的单调性与极值；4、函数的凸凹性与拐点；5、函数图象的讨论。基本要求：1、牢固掌握微分中值定理并会灵活应用；2、会用洛比达法则求极限，会将其他类型的不定型转化为 和 型；3、掌握 单调与 符号的关系，并用它证明 单调，不等式、求单调区间、极值等；4、掌握凸函数概念及性质，利用 判定凹凸性及拐点；5、能通过一定的计算进行函数图象的讨论。

第7章 实数的完备性考试内容：确界原理、闭区间套定理、柯西收敛准则、聚点定理、致密性定理、有限覆盖定理、单调有界定理。基本要求：1、了解下列基本概念：区间套、聚点、覆盖与有限覆盖、子列的概念；2、了解实数完备性的六个等价定理的结论。

第8章 不定积分考试内容：1、原函数、不定积分、基本积分表、不定积分的线性运算法则。2、第一换元积分法、第二换元积分法、分部积分法；3、有理函数的积分、三角函数有理式的积分、某些简单无理函数的积分。基本要求：1、掌握原函数与不定积分的概念，记住基本积分公式；2、熟练掌握换元积分法、分部积分法；3、熟练掌握有理函数积分步骤，并会求可化为有理函数的积分。

第9章 定积分考试内容：1、定积分的定义、函数的可积条件（必要条件，可积准则，可积函数类（三个充分条件））；2、定积分的线性性质、区间的可加性、单调性、绝对可积性等性质，积分中值定理；3、变上限积分函数概念与性质，牛顿-莱布尼茨公式、换元积分法、分部积分法。基本要求：1、掌握定积分定义、性质、可积条件，会利用定义进行一些数列极限的计算2、熟练掌握微积分基本定理、积分中值定量，并会加以应用；3、会熟练计算定积分；4、掌握定积分的变换及其一定的应用。

第10章 定积分应用考试内容：1、平面图形的面积、函数的平均值；2、由截面面积求立体体积、旋转体体积；3、曲线的弧长；4、旋转曲面的面积；5、微元法思想及应用。基本要求：1、要求能熟练计算各种平面图形面积；2、会由截面面积求立体体积，以及旋转体的体积；3、会利用定积分求孤长、旋转体的侧面积；4、微元法思想及应用。

第12章 数项级数考试内容：1、数项级数收敛、发散、和的概念，柯西准则，收敛级数的性质；2、正级数的收敛原则、比较原则、比式判别法、根式判别法、积分判别法；3、交错级数及其它一般级数绝对收敛、条件收敛与发散的概念与性质。基本要求：1、掌握数项级数敛散的定义、性质；2、熟练掌握正项级数的敛散判别法；3、掌握交错级数收敛的差别，了解其它一般级数绝对收敛、条件收敛与发散的概念与性质。

第13章 函数列与函数项级数考试内容：1、函数列的收敛与极限函数、函数项级数收敛与和函数、函数列与函数项级数的一致收敛性、一致收敛柯西准则、 判别法；2、函数列与函数项级数在一致收敛性条件下极限函数与和函数的连续性、可积性(逐项积分)、可微性(逐项微分)。基本要求：1、掌握函数列及函数项级数的收敛与一致收敛定义。2、掌握函数列、函数项级数一致收敛的判别法。

3、掌握函数列的极限函数、函数项级数的和函数的性质。

第14章 幂级数考试内容：幂级数、阿贝尔定理、收敛半径和收敛域、内闭一致收敛性、和函数的连续性、可积性(逐项积分)、可微性(逐项微分)。基本要求：1、熟练掌握幂级数收敛域，收敛半径及和函数的求法；2、了解幂级数的若干性质；3、了解求一般任意阶可微函数的幂级数展开式的方法，会利用间接法求一些初等函数的幂级数展式。

第15章 傅里叶级数考试内容：

三角级数、三角函数系的正交性、收敛定理、以 为周期的函数的傅立叶级数展开式，以及其特殊的正弦或余弦级数展开式。

基本要求：1、熟记傅里叶系数公式，并会求以 为周期的傅立叶级数；2、能求以 为周期的函数的正弦或余弦级数展开式。

第16章 多元函数极限与连续考试内容：1、平面点集的邻域、内点、外点、界点、聚点、孤立点，开集、闭集、开域、闭域、区域；2、二元函数的概念及几何表示、任意多元函数的概念；3、二元函数的极限(重极限、累次极限)的概念、性质、求法及关系；4、二元连续函数连续，闭域上连续函数的性质。基本要求：1、了解平面点集的若干概念；2、掌握二元函数重极限与二次极限的定义、性质，以及二者的关系；3、掌握二元连续函数定义，闭域上连续函数的性质。

第17章 多元函数微分学考试内容：1、多元函数的可微性、偏导数概念、几何意义、求法；2、多元复合函数的偏导数及全微分；3、空间曲线的切线与法平面，曲面的切平面与法线。基本要求：1、熟练掌握多元函数的可微、偏导数的概念、求法，掌握二元函数连续、可微、偏导数以及偏导函数连续等概念之间关系；2、会计算多元函数的二阶、三阶偏导数；3、掌握空间曲线的切线与法平面，曲面的切平面与法线。

第18章 隐函数定理及其应用考试内容：1、隐函数概念、隐函数的导数求法；2、条件极值概念、会应用拉格朗日乘数法求函数的条件极值。基本要求：1、掌握由一个方程确定的隐函数的条件，隐函数性质，隐函数的导数（偏导）公式；2、掌握条件极值的拉格朗日乘数法。

第21章 重积分考试内容：1、二重积分概念、可积条件、性质；2、二重积分化为累次积分的计算方法、 二重积分的极坐标变换法；3、三重积分概念、性质；4、三重积分化为累次积分的计算方法、 三重积分换元法(柱面坐标变换、 球面坐标变换)。基本要求：1、了解二重积分、三重积分定义与性质；2、掌握二重积分的换序和变量代换；3、较熟练掌握二重积分、三重积分的计算。